Es nicht nur von Bundesland zu Bundesland verschieden sondern wird auch in den Behörden innerhalb eines Bundeslandes unterschiedlich gehandhabt.
Ich mache immer -gleichgültig ob Kauf oder Verkauf- einen zivilrechtlichen kurzen Kaufvertrag. Das hat meinem Sachbearbeiter immer gereicht. Antragsformulare oder dergleichen habe ich in Jahrzehnten noch nie ausfüllen müssen.
Aus dem Kaufvertrag gehen alle erforderlichen Daten hervor.: Name und Anschrift des Käufers, Daten seiner Erlaubnis, Waffenart, Hersteller, Nummer und Kaliber. Mehr ist zur Eintragung bzw. Austragung ja auch nicht erforderlich.